Unidad 7: Cinemática

Conceptos Fundamentales del Movimiento.

Trayectoria

Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.

En la mecánica clásica la trayectoria de un cuerpo puntual siempre es una línea continua. Por el contrario, en la mecánica cuántica hay situaciones en las que no es así. Por ejemplo, posición de un electrón orbital de un átomo es probabilística, por lo que la trayectoria corresponde más bien a un volumen.

Velocidad

Es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se la representa por ṽ o v. Sus dimensiones son [L]/[T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, al cual se le denomina celeridad o rapidez.

Aceleración

 Es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad de un móvil por unidad de tiempo. En otras palabras, cuánta rapidez adquiere un objeto durante el transcurso de su movimiento, según una cantidad definida de tiempo. Se representa normalmente por ā o a.

Sus dimensiones son [Longitud]/[Tiempo]². Su unidad en el sistema internacional es el m/s².

Tipos de Movimiento.

Los tipos de movimientos más comunes son:

• Movimiento rectilíneo uniforme.
• Movimiento rectilíneo uniforme acelerado.
• Movimiento circular
• Movimiento parabólico

Movimiento Rectilíneo Uniforme.

Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor.

Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.

El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquél en el que un cuerpo se desplaza sobre una recta con aceleración constante. Esto implica que en cualquier intervalo de tiempo, la aceleración del cuerpo tendrá siempre el mismo valor. Por ejemplo la caída libre de un cuerpo, con aceleración de la gravedad constante.

Movimiento Circular.

El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.

No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, si varía su dirección.

El movimiento circular en la práctica es un tipo muy común de movimiento: Lo experimentan, por ejemplo, las partículas de un disco que gira sobre su eje, las de una noria, las de las agujas de un reloj, las de las paletas de un ventilador, etc. Para el caso de un disco en rotación alrededor de un eje fijo, cualquiera de sus puntos describe trayectorias circulares, realizando un cierto número de vueltas durante determinado intervalo de tiempo.

Para la descripción de este movimiento resulta conveniente referirse ángulos recorridos; ya que estos últimos son idénticos para todos los puntos del disco (referido a un mismo centro). La longitud del arco recorrido por un punto del disco depende de su posición y es igual al producto del ángulo recorrido por su distancia al eje o centro de giro.

La velocidad angular (ω) se define como el desplazamiento angular respecto del tiempo, y se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación; su sentido se determina aplicando la "regla de la mano derecha" o del sacacorchos. La aceleración angular (α) resulta ser variación de velocidad angular respecto del tiempo, y se representa por un vector análogo al de la velocidad angular, pero puede o no tener el mismo sentido (según acelere o retarde).

La velocidad (v) de una partícula es una magnitud vectorial cuyo módulo expresa la longitud del arco recorrido (espacio) por unidad de tiempo tiempo; dicho módulo también se denomina rapidez o celeridad. Se representa mediante un vector cuya dirección es tangente a la trayectoria circular y su sentido coincide con el del movimiento.

La aceleración (a) de una partícula es una magnitud vectorial que indica la rapidez con que cambia la velocidad respecto del tiempo; esto es, el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo. La aceleración tiene generalmente dos componentes: la aceleración tangencial a la trayectoria y la aceleración normal a ésta. La aceleración tangencial es la que causa la variación del módulo de la velocidad (celeridad) respecto del tiempo, mientras que la aceleración normal es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Los módulos de ambas componentes de la aceleración dependen de la la distancia a la que se encuentre la partícula respecto del eje de giro.

Movimiento Parabólico.

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Los estudios realizados por los físicos y sus descubrimientos sobre el movimiento, son aplicados en la elaboración de aparatos como automóviles, aviones, máquinas que  facilitan el trabajo del ser humano o proporcionan descanso y  distracción. Los  avances del conocimiento y de la tecnología siempre deben ser usados en beneficio de los seres humanos, sin perjudicar el ambiente.

Cinemática de la Partícula.

Cinemática.

Es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

En la Cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posición un cuerpo. La aceleración es el ritmo con que cambia su velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su posición en función del tiempo.

Sistemas de Coordenadas

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la trayectoria a recorrer, o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. Así, para describir el movimiento de un talón obligado a desplazarse a lo largo de un aro circular, la coordenada más útil sería el ángulo trazado sobre el aro. Del mismo modo, para describir el movimiento de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, las coordenadas polares serían las más útiles.

En la gran mayoría de los casos, el estudio cinemático se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones según la trayectoria seguida por el cuerpo.

Registro del Movimiento

La tecnología hoy en día nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. Así, para medir la velocidad se dispone del radar de tráfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El taquímetro es un indicador de la velocidad de un vehículo basado en la frecuencia de rotación de las ruedas. Los caminantes disponen de podómetros que detectan las vibraciones características del paso y, suponiendo una distancia media característica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vídeo, unido al análisis informático de las imágenes, permite igualmente determinar la posición y la velocidad de los vehículos.

 

Tipos de Movimientos del Cuerpo Rígido

Traslación.

 Es un movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto, en contraposición a una rotación.

Una traslación es la operación que modifica las posiciones de todos los cuerpos según la fórmula:

(x,y,z) = (x+Δx,y+Δy, z+Δz)

Donde (Δx,Δy,Δz) es un vector constante. Dicha operación puede ser generalizada a otras coordenadas, por ejemplo la coordenada temporal.

Rotación.

Es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.

Una rotación pura de un cuerpo queda representada mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante, ω situado sobre el eje de rotación.

Rotación Alrededor de un Eje Fijo.

Cuando cada partícula del cuerpo se mueve en un plano perpendicular al eje y describe una circunferencia cuyo radio es su distancia al eje, el cuerpo está en rotación alrededor de ese eje.

Se puede apreciar que todas las partículas equidistantes del eje describen idénticas trayectorias; por esto es frecuente tomar  una lámina representativa en cambio de todo el cuerpo; así el movimiento se puede considerar como un movimiento plano que normalmente se denomina rotación alrededor de un punto fijo (intersección del eje con la lámina representativa del cuerpo).  Sin embargo no se debe perder de vista que la rotación es alrededor de un eje fijo.

Ecuación de Movimiento.

En física, una ecuación de movimiento es una ecuación diferencial que caracteriza cómo es la evolución temporal de un sistema físico. Esta ecuación relaciona la derivada temporal de una o varias variables que caracterizan el estado físico del sistema, con otras magnitudes físicas que provocan el cambio en el sistema.

Históricamente el primer ejemplo de ecuación del movimiento que se introdujo en física fue la segunda ley de Newton para sistemas físicos compuestos de agregados partículas materiales puntuales. En estos sistemas el estado físico de un sistema quedaba fijado por la posición y velocidad de todas las partículas en un instante dado. 

Hacia finales del siglo XVIII se introdujo la mecánica analítica o racional, que era una generalización de las leyes de Newton aplicables en pie de igualdad a sistemas de referencia inerciales y no inerciales, y se crearon dos enfoques básicamente equivalentes conocidos como mecánica lagrangiana y mecánica hamiltoniana, que pueden llegar a un elevado grado de abstracción y formalización. Los ejemplos clásicos de ecuación del movimiento más conocidos son:

1.                  La segunda ley de Newton que se usa en mecánica newtoniana: 

2.                 Las ecuaciones de Euler-Lagrange que aparecen en mecánica lagrangiana:

3.   Las ecuaciones de Hamilton que aparecen en mecánica hamiltoniana:

Otras Ecuaciones de Movimiento.

El problema general del movimiento de un cuerpo rígido es determinar la situación y orientación de un cuerpo como funciones del tiempo, relacionándolas con las fuerzas externas, al cuerpo. Estas ecuaciones se obtienen formalmente de las ecuaciones para las velocidades de cantidad de movimiento y del momento cinético total del cuerpo.

 Las ecuaciones que se derivan son:

 

Distancia Recorrida.

            Es la longitud del recorrido seguido por la partícula.

Desplazamiento.

            Es la diferencia entre dos vectores posición de la partícula. El desplazamiento entre los puntos 1 y 2 es

y es independiente del origen O y de la trayectoria sólo depende del punto de partida y de llegada.

Rapidez Media.

Es el cociente entre la distancia recorrida AB y el tiempo t empleado en recorrerla.

Rapidez Instantánea.

Es el límite de la rapidez media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

 

Velocidad Media.

Es el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado en desplazarse. 

Velocidad Instantánea.

Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo t tiende a cero

Aceleración Media.

Es el cociente entre la diferencia de la velocidad instantánea y el intervalo de tiempo en que se produce dicha variación.

Aceleración Instantánea.

Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

 

Aceleración Normal y Tangencial.

La velocidad y la aceleración pueden expresarse en otro sistema de coordenadas ortogonal, en el que el origen del sistema coincide con la partícula siendo los vectores bases at y an con at tangente a la trayectoria y en el sentido del movimiento y an normal a at dirigido hacia el centro de la curvatura.

at :es un vector tangente a la curva y corresponde al cambio de la rapidez en el tiempo.

an : es un vector normal a la curva y corresponde al cambio de dirección del vector velocidad.

 

Ecuaciones de Movimiento de Partículas.

El análogo de la primera ley de Newton en teoría de la teoría de la relatividad postula que cuando sobre las partículas no actúa ninguna fuerza estas se mueven a lo largo de las geodésicas del espacio-tiempo, es decir, sobre las líneas más "rectas" posibles o de curvatura mínima. Cuando sobre las partículas actúa alguna fuerza, la ecuación del movimiento en términos de tiempo propio de la partícula, los símbolos de Christoffel dependientes de la curvatura del espacio tiempo, y la fuerza total sobre la partícula viene dada por:

Para una partícula moviéndose a través de un espacio-tiempo plano (Γ^k_ij=0), con velocidad pequeña respecto a la de la luz (τ ≈ t) la anterior ecuación se reduce a la segunda ley de Newton.

Ángulos de Euler.

Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.

Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento.

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