Vibraciones Libres de un Grado de Libertad.
El movimiento vibratorio o vibración es la variación o cambio de configuración de un sistema en relación al tiempo, en torno a una posición de equilibrio estable, su característica fundamental es que es periódico, siendo frecuente el movimiento armónico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorios.
El modelo más simple y probablemente uno de los más importantes en el estudio de las vibraciones mecánicas es el de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración libre no amortiguada.
El sistema está formado por una masa y un resorte, la masa permite almacenar energía potencial y energía cinética mientras que el resorte permite almacenar energía potencial debida a la deformación del resorte, la vibración libre de este sistema vibratorio puede interpretarse como el resultado del intercambio de la energía entre estos dos elementos.
Las suposiciones de este modelo son:
1. La masa del sistema es constante y totalmente rígida, se denomina M.
2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible describir el resorte mediante una ´única constante, denominada la constante del resorte, k. De manera que la relación entre la fuerza y la deformación del resorte está dada por F = k δ, (1) donde F es la fuerza del resorte y δ es la deformación del resorte.
3. No hay amortiguamiento presente en el sistema.
4. El movimiento de la masa es translación rectilínea.
Movimiento Armónico Simple
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los cuerpos elásticos
La ecuación de un movimiento armónico simple contiene una descripción completa del movimiento, y otros parámetros de movimiento pueden ser calculados a partir de éste.
La velocidad y la aceleración están dadas por:
La velocidad y la aceleración están dadas por:
La totalidad de energía para un oscilador puro es la suma de la energía cinética y de la energía potencial que es constante para:
Periodo y Frecuencia
Elementos del M.A.S:
Elementos del M.A.S:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.
El periodo T representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta completa y viene dado por:
La frecuencia f mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:
Obviamente, la frecuencia es la inversa del período:
Ecuación del Movimiento Libre no Amortiguado de un Grado de Libertad
La siguiente figura muestra este modelo un sistema de masa ‘m’ y una constante elástica ‘k’ vamos a realizar un estudio estático y cinético con el fin de determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento posteriormente veremos la solución de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema así como la fórmula que determina el cálculo de la frecuencia natural.
Modelo típico de un sistema libre no amortiguado.
Supongamos tres casos como se muestra en la figura.
En la figura se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa ‘m’ y el resorte sufre una deformación Xs que llamaremos deformación estética; de aquí
Fk = KXs
Diagrama de cuerpo libre, análisis estático.
El diagrama de cuerpo libre estático nos revela que
S Fy = 0
mg – KXs = 0
mg = Kxs Ec.3.3
Ahora imaginemos que estiramos la masa una distancia X y luego lo soltamos y aquí comenzamos hacer el análisis.
La figura nos muestra el diagrama de cuerpo libre como consideramos X + 1 por lo tanto x y x serán positivos hacia abajo.
Utilizando la 2da ley de Newton
+ S fy = S fy efect = mx
mg – KXt = mx Ec. 3.4
Como KT = Xs + x la ecuación se convierte en:
Mg – KXs – Kx = mx Ec 3.5
Utilizando la ecuación 3.3 como en la ecuación 3.5 aparecen como constantes se pueden eliminar, por lo tanto:
Mx + kx = 0
A la ecuación se le conoce como la ecuación diferencial del movimiento de un sistema libre no amortiguado.
Vibraciones Libres Amortiguadas de un Grado de Libertad.
En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica disminuyen con el tiempo.
La ecuación diferencial que describe el movimiento es mx''+cx'+kx = 0; la ecuación característica es mr2 + cr + k = 0, cuyas raíces son:
Se presentan tres casos posibles:
.- Amortiguamiento supercrítico:
Las raíces r1 y r2 son reales y distintas. La solución de esta ecuación, amortiguada pero no armónica, es de la forma:
Donde C1 y C2 son las constantes de integración. El sistema no oscila, simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio.
Amortiguamiento crítico:
La raíz de la ecuación característica es doble e igual a
La solución, amortiguada pero no armónica, es de la forma:
El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. El amortiguamiento crítico tiene una importancia especial porque separa los movimientos aperiódicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. Es decir, el valor crítico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza un amortiguamiento crítico, o próximo al crítico, para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rápidamente.
Amortiguamiento subcrítico:
y la frecuencia de la vibración amortiguada es:
La solución es de la forma:
Vibraciones Forzadas sin Amortiguamiento.
Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo.
La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, es:
Donde F0 es la amplitud y w la frecuencia de la fuerza excitadora.
La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la solución general de la homogénea una solución particular de la completa:
La ecuación característica es mr 2 + k = 0, las raíces de esta ecuación son imaginarias
Conjugadas:
La solución general de la homogénea es:
Así, la solución general tiene por expresión:
Factor de Amplificación y Relación de Frecuencias.
Una carga aplicada de forma dinámica puede producir un efecto considerablemente mayor que aplicada de forma estática, es decir, suficientemente lenta para que no se llegue a producir oscilación. Este efecto se denomina amplificación dinámica.
Un ejemplo sencillo es la aplicación de una carga constante P0, sobre un sistema formado por una masa m y un resorte k, sin amortiguamiento. Si se aplica de forma estática (mediante una rampa suficientemente lenta), el desplazamiento seria xest = P0=k. Si se aplica de forma súbita, como un escalón de carga, suponiendo que inicialmente el resorte está en su posición natural y sin velocidad, la respuesta es:
El desplazamiento máximo se produce para ω0t = π y vale xdin,max = 2P0/k
Por tanto, la amplificación dinámica de la carga es:
La relación de frecuencia asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r, es adimensional y expresa de la siguiente forma:
Resonancia.
La resonancia es un estado de operación en el que una frecuencia de excitación se encuentra cerca de una frecuencia natural de la estructura de la máquina. Una frecuencia natural es una frecuencia a la que una estructura vibrará si uno la desvía y después la suelta. Una estructura típica tendrá muchas frecuencias naturales. Cuando ocurre la resonancia, los niveles de vibración que resultan pueden ser muy altos y pueden causar daños muy rápidamente.
Una característica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, produciéndose cambios de configuración de los sistemas mecánicos que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas ya que depende de las características del material sometido a vibración.
Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del sistema (w =w) n, es decir, cuando Dw = 0, se produce la resonancia, la ecuación que rige dicho fenómeno es,
Expresión que corresponde a un movimiento armónico de frecuencia w n y cuya amplitud tiende a infinito cuando t = ¥.
Vibraciones Forzadas y Amortiguadas de un Grado de Libertad.
La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, F F t 0 senw, es de la forma:
mx''+cx'+kx+ =F
La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea es mr2 + cr + k = 0. Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa (x = xh +xp)
Resultando:
Esta solución consta de dos partes, una solución transitoria, en la que el primer término (xh), al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, y la solución estacionaria ( xp), en la que el sistema oscila con frecuencia w , amplitud A constante y desfase Q cuyas expresiones son:
Resolución de la Ecuación del Movimiento
Ecuación del Movimiento.
En este caso consideramos que sobre la masa m actúa una fuerza externa ƒ(t), además de las fuerzas internas antes descritas correspondientes al muelle y al amortiguador.
Oscilador simple con amortiguamiento sometido a fuerza externa.
La ecuación es ahora:
Al incluir el termino independiente f(t) la ecuación diferencial deja de ser homogénea. Esto da lugar a una estructura de la solución distinta, como se ve a continuación.
Integración de la Ecuación.
Integración de la Ecuación.
Restando término a término se obtiene:
Por tanto su diferencia, xh(t) = x2(t) - x1(t), es solución de la ecuación homogénea. Esto nos sirve para poder expresar la solución general de la completa como una solución particular de la misma, que hallaremos por cualquier procedimiento, más la solución general de la homogénea que ya sabemos calcular:
Para el estudio de estos sistemas será tomado como modelo el sistema masa resorte con amortiguamiento mostrado en la siguiente figura al que se le aplicará una fuerza externa excitadora. De esta forma la ecuación que caracteriza el comportamiento dinámico del sistema estará dada por una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea como sigue:
De donde se tiene que:
Donde,
Es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con vibraciones forzadas.
El efecto del amortiguamiento provoca que la oscilación propia del sistema se anule después de cierto período de tiempo quedando sólo la acción de la fuerza excitadora estable.
El término transitorio tendrá un comportamiento caracterizado por la relación entre las fuerzas elásticas y las fuerzas amortiguadoras del sistema, como ya es conocido.
La ecuación anterior será resuelta considerando las dos partes que la integran. La parte homogénea quedará igual a la ecuación característica de los sistemas con oscilaciones libres amortiguadas y la solución particular de la no-homogénea establecerá el término periódico.
La solución de la ecuación no homogénea puede obtenerse suponiendo que la respuesta del sistema y la fuerza excitadora tienen las siguientes expresiones.
Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación inicial se obtiene el siguiente resultado:
Despejando la amplitud de la ecuación principal se tendrá que:
Donde ϕ representa el ángulo de fase entre la respuesta del sistema y la fuerza excitadora, e igual a:
Así la solución de la parte no homogénea de la ecuación diferencial quedará expresada mediante la siguiente ecuación:
Representación en forma compleja del movimiento armónico forzado
Si se divide la respuesta del sistema respecto al término que representa a la fuerza excitadora, la expresión que se obtiene corresponderá a la de la función respuesta del sistema en donde la fuerza excitadora es considerada unitaria. En este caso la amplitud toma características de factor de ganancia o de magnificación.
Luego la solución de la ecuación del movimiento para los sistemas amortiguados con vibración forzada, dada por la ecuación diferencial de segundo orden no homogéneo, será igual a:
Factor de Amplificación Dinámica.
Es la relación existente entre la amplitud de las vibraciones de un sistema de un grado de libertad sometido a una excitación de tipo armónico y el desplazamiento estático (cuando la carga es aplicada estáticamente). El valor de D es:
Ejercicios Resueltos Unidad 12: Vibraciones Mecánicas
muy bien
ResponderEliminarExcelente
ResponderEliminarEl material está muy adecuado
ResponderEliminarEXCELENTE, ES MUY BUEN MATERIAL. GRACIAS.
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