Fuerzas Concurrentes.
Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes. La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas. Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas (las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza resultante, por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo. En el ejemplo que veremos a continuación vamos a hallar la resultante en forma gráfica y en forma analítica.
Las fuerzas componentes son f1, f2 y f3.
El punto en común por el que pasan las rectas de acción de las fuerzas componentes es A, cuyas coordenadas son (XA,YA).
Para definir la resultante R deberemos obtener su módulo, dirección y sentido (argumento) y las coordenadas de un punto cualquiera de su recta de acción.
Resultante de una Fuerza Concurrente.
Considere una partícula A sobre la que actúan varias fuerzas coplanáres, esto es, varias fuerzas que están contenidas en el mismo plano. Como todas las fuerzas que están considerando pasan por el punto A, también se dice que tales fuerzas son concurrentes.
Los vectores que representan las fuerzas que actúan sobre A pueden ser sumados utilizando la regla del polígono. Como el empleo de la regla de polígono es equivalente a aplicar repetidamente la ley del paralelogramo, el vector R obtenido de esta forma representa la resultante de las fuerzas concurrentes que se están considerando, esto es, R es un solo vector que origina el mismo efecto sobre la partícula A que todas las fuerzas que actúan sobre ellas. Como se menciono anteriormente, es irrelevante el orden en el cual se sumen los vectores P, Q y S que representan a las fuerzas que se están considerando.
Sistema de Fuerzas Concurrentes.
La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes (cuyas rectas de acción pasan por un mismo punto) puede determinarse gráficamente por dos métodos:
Método del Paralelogramo.
Luego de representar el sistema de fuerzas, se toman las longitudes de los vectores con un compás y se trazan arcos, para construir así un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo que pasa por el punto de aplicación del sistema de fuerzas constituye la resultante. Su intensidad se determina midiendo la longitud del vector R y multiplicando por la escala.
F2, F1
Método del Polígono.
Este método consiste en medir un polígono que tenga por lados a cada uno de los vectores que componen el sistema de fuerzas. Para esto se trazan paralelas a las fuerzas, con el mismo sentido y longitud, transportando unos vectores al final de otros. Al final de la traslación, se traza desde el origen del sistema hacia la última fuerza trasladada, la resultante, y se multiplica por la escala correspondiente.
F2, F3, F
Componentes Rectangulares de una Fuerza.
Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano, son todos los vectores coplanares que se encuentran delimitados por las coordenadas “X” e “Y”.
Al ser coplanares estos se encuentran en un plano bidimensional, los que se encuentran en un plano tridimensional ya son considerados como “componentes rectangulares en el espacio”.
Se encontrara que en muchos problemas es deseable fraccionar una fuerza en dos componentes perpendiculares entre sí. En la figura que nse muestra, la fuerza F ha sido descompuesta en una componente Fx a lo largo dell eje x y en una componente Fy a lo largo del eje y. el paralelogramo que se dibuja para obtener las dos componentes es un rectángulo y, por lo tanto, Fx y Fy resiven el nombre de componente rectangulares.
Componentes Rectangulares de una Fuerza.
Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano, son todos los vectores coplanares que se encuentran delimitados por las coordenadas “X” e “Y”.
Al ser coplanares estos se encuentran en un plano bidimensional, los que se encuentran en un plano tridimensional ya son considerados como “componentes rectangulares en el espacio”.
Se encontrara que en muchos problemas es deseable fraccionar una fuerza en dos componentes perpendiculares entre sí. En la figura que nse muestra, la fuerza F ha sido descompuesta en una componente Fx a lo largo dell eje x y en una componente Fy a lo largo del eje y. el paralelogramo que se dibuja para obtener las dos componentes es un rectángulo y, por lo tanto, Fx y Fy resiven el nombre de componente rectangulares.
Fuerzas Coplanáres.
Son las Fuerzas que actúan en un mismo plano.
Momento de Fuerza Respecto a un Punto.
En mecánica se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo) vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.
Definición de momento de una fuerza con respecto a un punto.
El momento de una fuerza F aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector OP por el vector fuerza; esto es,
Donde:
r es el vector que va desde O a P.
Por la propia definición del producto vectorial, el momento M es un vector perpendicular al plano determinado por los vectores F y r.
Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.
La definición de momento se aplica a otras magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o momento lineal, P, es el momento cinético o momento angular, L, definidocomo:
Interpretación del Momento
Relación entre los vectores de fuerza, momento de fuerza y vector de posición en un sistema rotatorio.
El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).
Unidades.
El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad se denomina newton metro o newton-metro, indistintamente. Su símbolo debe escribirse como N m o N•m (nunca mN, que indicaría milinewton).
Si bien es dimensionalmente N·m parece equivaler al julio, no se utiliza esta unidad para medir momentos, ya que el julio conceptualmente es unidad de trabajo o energía, que son conceptualmente diferentes a un momento de fuerza. El momento de fuerza es una magnitud vectorial, mientras que la energía es una magnitud escalar.
No obstante, la equivalencia dimensional de ambas magnitudes no es una mera coincidencia. Un momento de 1 N•m aplicado a lo largo de una revolución completa (2π radianes) realiza un trabajo igual a 2π julios, ya que W=Mθ, donde W es el trabajo, M es el momento y θ es el ángulo girado (en radianes). Es esta relación la que podría motivar el nombre de “julios por radián” para la unidad de momento, aunque no es correcto.
Par de Fuerzas.
Momento de un Par de Fuerzas.
Par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas de la misma intensidad o módulo, de la misma dirección (paralelas) y de sentido contrario.
Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce una rotación o una torsión. La magnitud de la rotación depende del valor de las fuerzas que forman el par y de la distancia entre ambas, llamada brazo del par.
Un par de fuerzas queda caracterizado por su momento. El momento de un par de fuerzas, M, es una magnitud vectorial que tiene por módulo el producto de cualquiera de las fuerzas por la distancia (perpendicular) entre ellas d. Esto es,
Algunas Propiedades que se Pueden Aplicar al Par de Fuerzas.
- Todo par de fuerzas puede trasladarse paralelamente a sí mismo siguiendo la dirección de las fuerzas componentes sin que varíe el efecto que produce.
- Todo par de fuerzas puede desplazarse a lo largo de la recta a la que pertenece su brazo.
- Un par de fuerzas se transforma en otro equivalente cuando gira alrededor del punto medio de su brazo.
- Un par de fuerzas puede trasladarse a otro plano paralelo al suyo manteniendo su efecto.
- Todo par de fuerzas puede sustituirse por otro equivalente cuyas fuerzas componentes y brazo del par sean diferentes.
Ejemplos Comunes de Pares de Fuerza.
Momento de una Fuerza.
Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas:
- ¿En qué situaciones se enrosca el tornillo?
- ¿En que situaciones se desenrosca el tornillo?
- ¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·d.
En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma dirección y sentido. El módulo del momento es F/2·(2d)=F·d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que con una llave más corta.
En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma dirección pero en sentido contrario.
- Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.
- Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.
M=rxF
El vector M tien:
- Por módulo, M=F·r·senθ=F·d. Siendo d el brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la dirección de la fuerza)
- Dirección, perpendicular al plano determinado por la fuerza F y el punto O.
- Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos.
La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:
El módulo es el producto de la fuerza F por la longitud d de la llave. M=F·r·senθ=F·d
La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z
El sentido viene determinado por el avance del tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.
Un vector unitario, es aquel cuya magnitud es la unidad (uno).
El vector que va desde un punto a cualquiera hacia otro punto b cualquiera, se le conoce como vector de posición, y sus componentes son (xb-xa)i + (yb-ya)j + (zb-za)k.
Un vector siempre tiene magnitud, dirección y sentido
Sistemas equivalentes (caso general)
Un sistema es equivalente a un sistema, si la sumatoria de fuerzas de ambos sistemas son iguales, y si la sumatoria de momentos con respecto a un mismo punto o (mismo punto para ambos sistemas), son también iguales.
Sistemas Equivalentes (Casos Particulares)
- Un sistema 1, puede ser representado por una fuerza y un par en un punto o (sistema 2), si la fuerza (sistema 2), es la resultante de la sumatoria vectorial de todas las fuerzas del sistema 1, y el momento (sistema 2), es el momento vector resultante tanto de dichas fuerzas con respecto a ese punto o, como de la sumatoria vectorial de todos los pares.
- Un sistema 1, puede ser representado por una fuerza única (sistema 2), si el sistema 1, consiste en un sistema de fuerzas concurrentes.
- Un sistema 1, puede ser representado por una fuerza única (sistema 2), si el sistema 1, consiste en un sistema de fuerzas paralelas.
Reducción de un Sistema de Fuerzas a un Sistema de Fuerzas de Par Equivalente.
Se entiende desde un punto de vista vectorial:
Imagínate que dos puntos del plano P(xp, yp) y Q(xq, yq) proyectados sobre los ejes coordenados dan otros dos vectores. La distancia que existe desde P hacia Q es:
Las componentes del vector PQ son [ (xq - xp) , (yq - yp) ]
Que serían las proyecciones sobre los ejes coordenados.
Sistema de Fuerzas Coplanáres.
Las fuerzas coplanares, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia de las no coplanares que se encuentran en más de un plano, es decir en 3 ejes. Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Pueden expresarse en tres formas:
1.- ∑Fx = ∑Fy = 0
La forma expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (en el plano de las fuerzas) es cero.
2.- ∑Fx = ∑Ma = 0
Esta forma indica que la suma algebraica de las componentes según cualquier eje y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un punto es cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en la intersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado).
3.- ∑Ma = ∑Mb = 0
En esta forma se explica, asimismo, refiriéndose a momentos respecto dos puntos no colineales con la intersección aludida.
Sistema de Fuerzas Paralelas.
Podemos observar que en un sistema de fuerzas paralelas, la resultante pasa siempre más cerca de la fuerza de mayor intensidad. Además de la resolución gráfica, es posible establecer una relación matemática entre las fuerzas aplicadas y las distancias.
Fuerzas Paralelas de Igual Sentido.
La resultante de dos fuerzas paralelas de igual sentido es otra fuerza de dirección y sentido iguales a los de las fuerzas dadas y de intensidad igual a la suma de las intensidades de aquéllas. El punto de aplicación de las resultante está siempre del lado de la fuerza mayor y cumple la relación:
F1 .a = F2 .b
Fuerzas Paralelas de Distinto Sentido
La resultante de dos fuerzas paralelas de sentido distinto es otra fuerza paralela a las dadas cuya intensidad es igual a la diferencia de las intensidades de las fuerzas dadas, y su sentido es igual al de la fuerza mayor.
El punto de aplicación está situado fuera del segmento que une las fuerzas y del lado de la mayor.
Reducción de un Sistema de Fuerzas a un Torsor Equivalente.
Cuando la dupla R y M0R del sistema equivalente a un sistema general de fuerzas, referido al punto O, no es perpendicular, ésta se puede reducir de la siguiente manera, [Fig. 1].
Figura 1
Se descompone M0R en dos componentesM1 y M2 paralela y perpendicular a R respectivamente.Ahora bien, como R y M2 son perpendiculares se pueden reemplazar por una fuerza única R en un punto A tal que rA x R=M2, y como M1 es un vector libre se traslada por conveniencia al mismo punto A.
Se obtiene así un sistema fuerza-par cuyos vectores son colineales. A este sistema se le conoce como “torsor” y representa físicamente la tendencia que tiene un sistema general de fuerzas que actúa sobre un cuerpo, esto es, una translación en la dirección de R y una rotación alrededor de un eje paralelo a la misma dirección. Un ejemplo de este sistema simplificado se presenta cuando se introduce un tornillo en una pieza cualquiera, ya que para hacerlo se aplica una fuerza y un par que son colineales.
Ejercicios Resueltos Unidad II: FUERZAS Y MOMENTOS:
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Ejercicios Resueltos Unidad II: FUERZAS Y MOMENTOS:
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MUCHAS GRACIAS!
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